كيف تقيم تكامل sin^3(x)؟

يتم تقييم التكامل غير المحدود لـ sin^3(x) عن طريق فصل عامل الجيب، واستخدام متطابقة فيثاغورس sin^2(x) = 1 - cos^2(x)، وتطبيق التعويض بـ u = cos(x)، مما ينتج عنه -cos(x) + (1/3)cos^3(x) + c.

تكامل sin^3(x) – الاشتقاق، الصيغة والأمثلة

الاشتقاق والتقييم

قيم التكامل:

\[ \int \sin^3 x \, dx \]

اكتب دالة التكامل \( \sin^3 x \) على صورة حاصل ضرب \( \sin^2 x \) و \( \sin x \):

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin^2 x \sin x \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) لكتابة التكامل على النحو التالي:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx \]

افرد \( (1 - \cos^2 x)\sin x \) واكتب:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx - \int \cos^2 x \sin x \, dx \]

استخدم التكامل بالتعويض: ليكن \( u = \cos x \)، مما يعطي \( \dfrac{du}{dx} = -\sin x \) أو \( du = -\sin x \, dx \). التعويض عن ذلك ينتج:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx + \int u^2 \, du \]

استخدم صيغ التكامل القياسية لتقييم التكامل:

\[ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

حيث \( c \) هو ثابت التكامل.

عوض مرة أخرى بـ \( u = \cos x \) لإيجاد النتيجة النهائية:

صيغة التكامل لـ \( \sin^3 x \):

\[ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \dfrac{1}{3} \cos^3 x + c \]

الاشتقاق والتقييم

المزيد من المراجع والروابط